Hình học đường tròn lớp 9

Tổng hợp lý thuyết đầy đủ nhất những gì tương quan tới đường tròn giành cho học sinh lớp 9, ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Bạn đang xem: Hình học đường tròn lớp 9

Nếu muốn giải được các dạng toán đường tròn lớp 9 thì bắt buộc những em phải nắm vững những lý thuyết đường tròn dưới đây.

I. Sự xác định của đường tròn, tính chất đối xứng của đường tròn

1. Đường tròn

– Định nghĩa: Đường tròn trung khu nửa đường kính (

0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="46" style="vertical-align: -2px;">) là hình gồm những điểm giải pháp điểm một khoảng bí quyết bằng .

2. Vị trí tương đối của một điểm với một đường tròn

– đến đường tròn trọng điểm với điểm M.

+ nằm trên đường tròn ⇔

+ nằm trong đường tròn ⇔

3. Giải pháp xác định đường tròn

– Qua ba điểmkhông thẳng hàngta vẽ được một với chỉ một đường tròn.

4.Tính chất đối xứng của đường tròn

– Đường tròn là hình bao gồm tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là chổ chính giữa đối xứng của của đường tròn đó.

– Đường tròn là hình gồm trục đối xứng, trục bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.

II. Dây của đường tròn

1. đối chiếu độ dài của đường kính cùng dây

– trong những dây của đường tròn dây lớn nhất là đường kính

2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính với dây

– vào một đường tròn, đường kính vuông góc với 1 dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

– vào một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của 1 dây thìvuông gócvớidây ấy.

3. Liên hệ giữa dây với khoảng biện pháp từ trung tâm đến dây

– trong một đường tròn:

+ 2 dây bằng nhau thì phương pháp đều tâm

+ 2 dây bí quyết đều trung khu thì bằng nhau

– vào 2 dây của 1 đường tròn

+ Dây như thế nào lớn hơn thì dây đó gần trung ương hơn

+ Dây làm sao nhỏ hơn thì dây đó xa tâm hơn

III. Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn

1. Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn

Cho đường tròn tâm

với đường thẳng , đặt khi đó:

– Đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt⇔

Khi đường thẳng với đường tròn tiếp xúc nhau thì đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn. Điểm phổ biến giữa đường thẳng cùng đường tròn gọi là tiếp điểm.

2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

– Nếu 1 đường thẳng là tiếp tuyến của 1 đường tròn thì nó vuông góc với nửa đường kính đi qua tiếp điểm

– Nếu1 đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn với vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thắng ẩy là tiếp tuyến của đường tròn.

3. Tính chất của nhì tiếp tuyến cắt nhau

Nếu nhị tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

– Điếm đó bí quyết đều nhì tiếp điểm.

– Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi nhì tiếp tuyến.

– Tia kẻtừ tâm đi qua điểm đólà tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính (đi qua các tiếp điểm)

4. Đường tròn nội tiếp tam giác

– Đường tròn tiếp xúc với tía cạnh của một tam giác được gọi làđường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.

– trọng tâm của đường tròn nội tiếp tam giác được gọi làgiao điểm của các đường phân giác những góc vào tam giác.

5. Đườngtròn bàng tiếp tam giác

– Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác với tiếp xúc với những phần kéo dài của hai cạnh cơ được gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.

– Với một tam giác, có bố đường tròn bàng tiếp.

– vai trung phong của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của nhì đường phân giác các góc ngoài tại B cùng C,hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A cùng đường phân giác ngoài tại B (hoặc C).

IV. Vị trí tương đối của hai đường tròn

1. Tính chất đường nối tâm

– Đường nối trọng điểm của nhì đường tròn là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn đó.

– Nếu hai đường tròn cắt nhau thì nhì giao điếm đối xứng với nhau qua đường nối tâm.

– Nếuhai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm bên trên đường nối tâm.

2. Vị trí tương đối của nhì đường tròn

Cho 2 đường tròn với đặt

– nhị đường tròn cắt nhau tại 2 điểm⇔

+ chứa ⇔

– Tiếp tuyến thông thường của hai đường trònlà đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.

– Tiếp tuyến chung kế bên là tiếp tuyến phổ biến không cắt đoạn nối tâm.

– Tiếp tuyến phổ biến trong làtiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm.

V. Liên hệ giữa cung cùng dây cung

1. Định lí 1

+ Với hai cung nhỏ trong một đường tròn xuất xắc trong hai đường tròn bằng nhau:

– hai cung bằng nhau căng nhì dây bằng nhau.

– nhì dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

2. Định lí 2

+ Với hai cung nhỏ trong một đường tròn giỏi trong nhị đường tròn bằng nhau:

– Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

– Dây lớn hơn căng cunglớn hơn.

3. Bổ sung

+ trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa nhị dây tuy vậy song thì bằng nhau.

+ trong một đường tròn, đường kính đi qua điếm thiết yếu giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.

+ trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì đi qua điếm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.

Xem thêm: 3 Lần Vào Nhà Nghỉ Nhưng Không Làm Gì, Vào Nhà Nghỉ Để Làm Gì

+ trong một đường tròn, đường kính đi qua điếm thiết yếu giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy cùng ngược lại.

VI. Góc nội tiếp đường tròn

1. Định nghĩa:Góc nội tiếplàgóc bao gồm đỉnh nằm trên đường trònvàhai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn ấy.

– Cung nằm phía bên trong góc được gọilàcung bị chắn.

2. Định lí:Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếpbằng nửa số đo của cung bị chắn.

3. Hệ quả

+ vào một đường tròn:

– những góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

– những góc nội tiếp thuộc chắn một cung hoặc chắn những cung bằng nhau thì bằng nhau.

– Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90°có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâmcùng chắn một cung.

– Góc nội tiếp chắn nửa đường trònlà góc vuông.

VI. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

1. Định lí:Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.

2. Hệ quả:Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây cung và góc nội tiếp thuộc chắn một cung thì bằng nhau.

3. Định lí (bổ sung)

– Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), cósố đobằng nửa số đo của cung AB căng dây đóvà cung này nằm bên trong góc đóthì cạnh Axlàmột tia tiếp tuyến của đường tròn.

VIII. Góc ở đỉnh bên trong, cùng góc ở đỉnh bên phía ngoài đường tròn

Định lí 1:Số đocủa góc tất cả đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng so đo nhị cung bị chắn.

Định lí 2:Số đo của góc tất cả đỉnh ở phía bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu so đo hai cung bị chắn.

IX. Cung chứa góc

1. Quỹ tích cung chứa góc

– Với đoạn thẳng AB và gócα (002. Cách vẽcung chứa góc α

– Vẽ đường trung trực d của đoạn thắng AB.

– Vẽ tia Ax tạo với AB một góc α

– Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. GọiO là giao điểmcủa Ay với d.

– Vẽ cung AmB, tâmO, nửa đường kính OA làm sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax. Cung AmB được vẽ như trên là một cung chứa gócα.

3. Cách giải câu hỏi quỹ tích

– Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điếm M thỏa kinh niên chấtTlàmột hình H nào đó, ta phải chứng minh nhị phần:

+ Phần thuận: Mọi điếm tất cả tính chất T đều thuộc hình H.

+ Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều tất cả tính chất T.

Kết luận: Quỹ tích những điếm Mcó tính chấtT là hình H.

X. Tứ giác nội tiếp

1. Định nghĩa

Một tứ giác gồm bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.

2. Định lí

– trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo 2 góc đối diện bằng

– Nếu một tứ giác bao gồm tổng số đo 2 góc đối diện bằng thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

3. Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

– Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn là tứ giác nội tiếp đường tròn.

– Tứ giác có tổng số đo 2 góc đối diện bằng thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

– Tứ giác ABCD tất cả 2 đỉnh C cùng D sao để cho

thì tứ giác ABCD nội tiếp được.

XI. Đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp

1. Định nghĩa

Đường tròn đi qua tất cả những đỉnh của một đa giác được gọi là đườngtròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.

Đường tròn tiếp xúc với tất cảcác cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác cùng đa giác được gọi làđa giác ngoại tiếp đường tròn.

2. Địnhlí

– Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, tất cả một và chỉ một đường tròn nội tiếp.

– trọng tâm của nhì đường tròn này trùng nhau cùng được gọi làtâm của đa giác đều.

– chổ chính giữa này là giao điểm hai đường trung trực của nhì cạnh hoặc là hai đường phân giác của hai góc.

* Chú ý:

– bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác là khoảng phương pháp từ chổ chính giữa đến đỉnh.

– bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng biện pháp từ tâmO đến 1 cạnh.

– mang lại n_ giác (đa giác tất cả n cạnh) đều cạnh a. Khi đó:

+ Chu vi của đa giác:

( là nửa chu vi)

+ Mỗi góc ở đỉnh của đa giác tất cả số đo bằng:

+ Mỗi góc ở trọng điểm của đa giác tất cả số đo bằng:

+ bán kính đường tròn ngoại tiếp

⇒

+ nửa đường kính đường tròn nội tiếp

⇒

+ Liên hệ giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp với nội tiếp:

+ Diện tích đa giác đều:

XII. Độ nhiều năm đường tròn, cung tròn

1. Công thức tính độ dài đường tròn (chu vi đường tròn)

– Độ lâu năm C của một đường tròn bán kính R được tính theo công thức

hoặc

2. Công thức tính độ nhiều năm cung tròn

Trên đường tròn nửa đường kính R, độ dài l của một cung no được tính theo công thức:

XIII. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn

1. Công thức tính diện tích hình tròn

– Diện tích S của một hình tròn bán kính R được tính theo công thức:

2. Công thức tính diện tích hình quạt tròn

– Diện tích hình quạt tròn bán kính R cung no được tính theo công thức

hay ( là độ lâu năm cung nocủa hình quạt tròn)